Das Waage-Prinzip: Eine Gleichung ist wie eine Balkenwaage im
Gleichgewicht. Jede Veränderung muss auf beiden Seiten exakt gleich ausgeführt werden.
- Erlaubte Umformungen (Äquivalenzumformungen):
Addieren oder Subtrahieren desselben Terms auf beiden Seiten ($| + c$, $| - 3x$). Multiplizieren oder
Dividieren beider Seiten mit derselben Zahl $\neq 0$ ($| \cdot 4$, $| : 2$).
- Farb-Leitfaden für den Überblick:
Lineare Terme mit $x$ stehen in $\textcolor{#2563eb}{\text{Blau}}$, quadratische Terme $x^2$ in
$\textcolor{#7c3aed}{\text{Violett}}$, reine Zahlen/Konstanten in $\textcolor{#ea580c}{\text{Orange}}$, Nenner
in $\textcolor{#dc2626}{\text{Rot}}$ und die aktuelle Operation am rechten Rand in
$\textcolor{#16a34a}{\text{Grün}}$.
- Bruchgleichungen (Gefahr durch $x$ im Nenner):
Vor dem Multiplizieren immer zuerst den Definitionsbereich $D$ bestimmen ($x$-Werte
ausschließen, die den Nenner zu $0$ machen!). Am Ende prüfen, ob die gefundene Lösung in $D$
liegt.
- Quadratische Gleichungen:
Reinquadratische Formen ($x^2 = c$) direkt durch Wurzelziehen lösen ($x_{1,2} = \pm\sqrt{c}$).
Gleichungen ohne Konstante ($x^2 + px = 0$) durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt lösen
($x(x+p)=0 \implies x_1=0, x_2=-p$). Gemischtquadratische Formen auf Normalform $x^2 + px + q = 0$ bringen und
$pq$-Formel anwenden!