Uebungs-Klassenarbeit 9.1: Potenzen, Wurzeln & Potenzfunktionen - heyde.schule

Klassenarbeits-Seed:

Blatt 1 • Seite 1 (Vorderseite: Teil A1 – Ohne Hilfsmittel)A4-Druckseite 1 von 3

Name, Vorname

Klasse

Datum

SEED: U9-401

Übungs-Klassenarbeit Nr. 1: Potenzen, Wurzeln & Potenzfunktionen

Mathematik • Klassenstufe 9 • Bearbeitungszeit: 45 Minuten (20 min Teil A + 25 min Teil B)

Erreichte BE (Gesamt)

/ 30 BE

Note

Notenschlüssel:ab 28 BE → 1ab 24 BE → 2ab 19 BE → 3ab 13 BE → 4ab 7 BE → 5unter 7 BE → 6

Teil A1: Grundverständnis & Ankreuzaufgaben (10 BE • 5 Aufgaben à 2 BE)

Aufgabe 1 (Gib an, AFB I):
Welcher Term ist gleichwertig zu

\frac{x^5 \cdot x^{-3}}{x^2}

? Wende die Potenzgesetze an:

/ 2 BE

x^{6}

x^{10}

x^{0}

x^{4}

x^{-10}

Musterlösung & Kriterien (2 BE):

Potenzgesetze für gleiche Basis anwenden: Zähler multiplizieren ergibt

x^{5 + (-3)} = x^{2}

. Division durch Nenner:

x^{2 - 2} = x^{0}

Aufgabe 2 (Gib an, AFB I):
Welcher Term stellt den Wurzelausdruck

\sqrt[4]{x^3}

exakt in Potenzschreibweise dar?

/ 2 BE

x^{-1}

x^{\frac{3}{4}}

x^{12}

x^{1}

x^{\frac{4}{3}}

Musterlösung & Kriterien (2 BE):

Nach der Definition rationaler Exponenten gilt

\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}

: Der Wurzelexponent

n

steht stets im Nenner des Bruchs, die innere Hochzahl

m

im Zähler. Richtig ist somit

x^{\frac{3}{4}}

Aufgabe 3 (Gib an, AFB I):
Welche der folgenden Potenzgleichungen besitzt im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung (

\mathbb{L} = \emptyset

/ 2 BE

x^2 = -5

x^3 = -27

x^{-1} = -4

x^2 = 49

x^{\frac{1}{3}} = -2

Musterlösung & Kriterien (2 BE):

Das Quadrat einer reellen Zahl kann niemals negativ sein: Für alle

x \in \mathbb{R}

gilt

x^2 \ge 0

. Daher hat

x^2 = -5

keine reelle Lösung (

\mathbb{L} = \emptyset

). Ungerade Potenzen (

x^3

) oder negative Exponenten (

x^{-1} = \frac{1}{x}

) können hingegen problemlos negative Werte annehmen.

Aufgabe 4 (Gib an, AFB I):
Der Graph der Grundfunktion

f(x) = x^2

wird gemäß der allgemeinen Formel

g(x) = a \cdot (b(x + c))^2 + d

parametrisiert: in

y

-Richtung gestreckt (

a = 2

), in

x

-Richtung mit Innenfaktor gestaucht (

b = 4

), um

5

Einheiten nach links verschoben (

c = 5

) und um

3

Einheiten nach oben verschoben (

d = 3

). Welcher Funktionsterm in dieser Klammerform gehört dazu?

/ 2 BE

g(x) = 2(4(x - 5))^2 + 3

g(x) = 4(2(x + 5))^2 + 3

g(x) = 2(4(x + 5))^2 - 3

g(x) = -2(4(x + 5))^2 + 3

g(x) = 2(4(x + 5))^2 + 3

Musterlösung & Kriterien (2 BE):

In der allgemeinen Klammerform

g(x) = a \cdot (b(x + c))^2 + d

lassen sich alle 4 Parameter direkt ablesen: Vorfaktor

a = 2

für

y

-Streckung/Spiegelung, Innenfaktor

b = 4

für

x

-Stauchung,

(x + 5)

für Verschiebung um

5

nach links und

+ 3

für Verschiebung um

3

nach oben. Richtig ist

g(x) = 2(4(x + 5))^2 + 3

Aufgabe 5 (Nenne, AFB I):
Für welche der folgenden Gleichungen gilt als maximale reelle Definitionsmenge

\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}

(alle reellen Zahlen außer 0)?

/ 2 BE

x^{\frac{1}{3}} = 2

x^2 = 16

x^3 = 27

x^{\frac{1}{2}} = 4

x^{-2} = 9

Musterlösung & Kriterien (2 BE):

Der negative Exponent bedeutet

x^{-2} = \frac{1}{x^2}

. Da eine Division durch Null mathematisch nicht definiert ist, muss

x \neq 0

gelten, also

\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0\}

. Bei

x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}

dürfen hingegen gar keine negativen Zahlen eingesetzt werden (

\mathbb{D} = [0; \infty)

Blatt 1 • Seite 2 (Rückseite: Teil A2 – Freies Rechnen)A4-Druckseite 2 von 3

Übungs-Klassenarbeit Nr. 1 • Teil A (Fortsetzung: Freies Rechnen)SEED: U9-401

Teil A2: Freies Rechnen ohne Hilfsmittel (10 BE)

Aufgabe 6 (Berechne, AFB I/II):
Vereinfache den folgenden Term schrittweise unter Anwendung der Potenzgesetze und der 3. Binomischen Formel:

(x^2 + 3)(x^2 - 3) - x^{4} + 9

/ 3 BE

Musterlösung & Kriterien (3 BE):

1. Schritt (3. Binomische Formel anwenden):

(x^2)^2 - 3^2 = x^{4} - 9

(1 BE)
2. Schritt (Terme zusammenfassen):

x^{4} - 9 - x^{4} + 9

(1 BE)
3. Endergebnis: Die Potenzen

x^{4} - x^{4} = 0

und Konstanten

-9 + 9 = 0

heben sich vollständig auf:

\mathbf{0}

(1 BE).

Aufgabe 7 (Ermittle, AFB II):
Löse die folgenden Potenzgleichungen exakt ohne Taschenrechner und gib jeweils die Lösungsmenge

\mathbb{L}

an:

a)

x^3 = -8

(1 BE)
b)

x^2 - 7 = 2

(1 BE)
c)

x^{\frac{1}{2}} = 3

(2 BE)

/ 4 BE

Musterlösung & Kriterien (4 BE):

a) Ungerader Exponent:

x = \sqrt[3]{-8} = -2 \implies \mathbf{\mathbb{L} = \{-2\}}

(1 BE)
b) Addiere

7

x^2 = 9 \implies x_{1,2} = \pm 3 \implies \mathbf{\mathbb{L} = \{-3; 3\}}

(1 BE für beide Lösungen)
c) Potenzschreibweise bedeutet

\sqrt{x} = 3

mit Randbedingung

x \ge 0

(1 BE). Quadrieren liefert

x = 3^2 = 9 \implies \mathbf{\mathbb{L} = \{9\}}

(1 BE).

Aufgabe 8 (Bestimme, AFB II):
Gegeben ist die Potenzgleichung mit negativem Exponenten:

(x^2 - 9)^{-1} = \frac{1}{16}

a) Bestimme zunächst die Randbedingung (maximale Definitionsmenge

\mathbb{D}

), sodass keine Division durch Null entsteht. (1 BE)
b) Löse die Gleichung schrittweise und gib die Lösungsmenge

\mathbb{L}

an. (2 BE)

/ 3 BE

Musterlösung & Kriterien (3 BE):

a) Randbedingung / Definitionsmenge (1 BE):
Der Term

(x^2 - 9)^{-1} = \frac{1}{x^2 - 9}

darf im Nenner nicht null werden:

x^2 - 9 \neq 0 \iff (x - 3)(x + 3) \neq 0 \iff x \neq 3 \text{ und } x \neq -3

.
Somit gilt:

\mathbf{\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}}

(1 BE).

b) Lösung der Gleichung (2 BE):
Kehrwert bilden:

x^2 - 9 = 16

Addiere

9

x^2 = 16 + 9 = 25

Wurzel ziehen:

x_{1,2} = \pm 5

(1 BE).
Vergleich mit

\mathbb{D}

: Da

\pm 5 \in \mathbb{D}

, sind beide Lösungen gültig:

\mathbf{\mathbb{L} = \{-5; 5\}}

(1 BE).

Blatt 2 • Seite 1 (Vorderseite: Teil B – Mit Hilfsmitteln)A4-Druckseite 3 von 3

Name, Vorname

Klasse

Datum

SEED: U9-401

Übungs-Klassenarbeit Nr. 1 – TEIL B

Mit Hilfsmitteln (Taschenrechner erlaubt) • Bearbeitungszeit: ca. 25 min • 10 BE

Erreichte BE Teil B

/ 10 BE

Aufgabe 9 (Ermittle & Prüfe, AFB II):
Gegeben ist die Wurzelgleichung:

\sqrt{x - 3} = x - 5

a) Bestimme die Randbedingung (maximale Definitionsmenge

\mathbb{D}

) für diese Gleichung. (1 BE)
b) Löse die Gleichung rechnerisch (mit TR / binomischer Formel), führe die Probe durch und gib die Lösungsmenge

\mathbb{L}

an. (2 BE)

/ 3 BE

Musterlösung & Kriterien (3 BE):

a) Randbedingung / Definitionsmenge (1 BE):
Radikand:

x - 3 \ge 0 \iff x \ge 3

. Da eine Wurzel niemals negativ ist (

\sqrt{\dots} \ge 0

), muss auch die rechte Seite nicht-negativ sein:

x - 5 \ge 0 \iff x \ge 5

.
Daraus folgt die maßgebliche Randbedingung:

\mathbf{\mathbb{D} = [5; \infty)}

(1 BE).

b) Rechnerischer Weg & Probe (2 BE):
1. Quadrieren (2. Binomische Formel):

x - 3 = (x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25

2. Normalform:

x^2 - 11x + 28 = 0

3. Rechnerische Lösungen (mit TR / pq-Formel):

x_1 = 7

und

x_2 = 4

(1 BE).
4. Probe & Ausschluss der Scheinlösung (1 BE):
• Für

x_1 = 7

\sqrt{7 - 3} = 2

und

7 - 5 = 2

(wahr, da

7 \in \mathbb{D}

).
• Für

x_2 = 4

\sqrt{4 - 3} = 1

, aber

4 - 5 = -1

(Widerspruch:

1 \neq -1

, da

4 \notin \mathbb{D}

).
Somit ist

x_2 = 4

eine Scheinlösung. Die Lösungsmenge lautet:

\mathbf{\mathbb{L} = \{7\}}

Aufgabe 10 (Skizziere & Beschreibe, AFB II/III):
Gegeben ist die transformierte Potenzfunktion

f(x) = 2(x - 2)^2 - 3

ausgehend von der Grundfunktion

g(x) = x^2

:

a) Beschreibe die Transformationen anhand der Parameter (

a

c

und

d

) in mathematischer Fachsprache. (2 BE)
b) Gib an den Scheitelpunkt

S

sowie den Wertebereich

\mathbb{W}

und skizziere den Graphen qualitativ in das Koordinatengitter. (1 BE)

/ 3 BE

Musterlösung & Kriterien (3 BE):

a) Fachsprachliche Beschreibung (2 BE):
• Faktor $a = 2$ : Streckung in

y

-Richtung um den Faktor

2

(die Parabel ist schmaler als die Normalparabel).
• Parameter $c = 2$ : Verschiebung um

2

Einheiten nach rechts entlang der

x

-Achse.
• Parameter $d = -3$ : Verschiebung um

3

Einheiten nach unten entlang der

y

-Achse.

b) Scheitelpunkt, Wertebereich & Skizze (1 BE):
Scheitelpunkt:

\mathbf{S(2 \mid -3)}

, Wertebereich:

\mathbf{\mathbb{W} = [-3; \infty)}

. Die Parabel ist nach oben geöffnet.

Aufgabe 11 (Modelliere & Beurteile, AFB III):
Ein geschlossener Wassertank für ein Schulgewächshaus hat die Form eines Würfels mit dem Volumen

V = x^3

(Kantenlänge

x

\text{dm}

1\text{ dm}^3 = 1\text{ Liter}

). Aktuell fasst der Wassertank exakt

400\text{ Liter}

.

a) Modelliere die Potenzgleichung für die Kantenlänge

x

und berechne

x

auf eine Nachkommastelle gerundet. (2 BE)
b) Für den Sommer soll das Fassungsvermögen auf das Doppelte verdoppelt werden (

V_2 = 800\text{ Liter}

). Berechne die neue Kantenlänge und beurteile mathematisch begründet, warum sich bei einer Verdopplung des Volumens die Kantenlänge nicht verdoppelt. (2 BE)

/ 4 BE

Musterlösung & Kriterien (4 BE):

a) Modellierung & Kantenlänge (2 BE):
Potenzgleichung:

x^3 = 400

(1 BE)
Auflösen durch Ziehen der 3. Wurzel:

x = \sqrt[3]{400} \approx \mathbf{7,4\text{ dm}}

(1 BE).

b) Verdopplung & mathematische Beurteilung (2 BE):
Neues Volumen:

x_2^3 = 800 \implies x_2 = \sqrt[3]{800} \approx \mathbf{9,3\text{ dm}}

(1 BE).
Begründung: Bei einem Würfel hängt das Volumen kubisch von der Kantenlänge ab (

V = x^3

). Eine Verdopplung des Volumens bedeutet

2V = (x \cdot \sqrt[3]{2})^3

. Die Kantenlänge wächst daher nicht um den Faktor 2, sondern lediglich um den Faktor

\sqrt[3]{2} \approx 1{,}26

(also um ca.

+26\,\%

). Würde man die Kantenlänge verdoppeln (

2x

), würde sich das Volumen sogar verachtfachen (

2^3 = 8

)! (1 BE)